Homotopy Theory and TDA with a View Towards Category Theory

• This thesis contains three papers. Paper A and Paper B deal with homotopy theory and Paper C deals with Topological Data Analysis. All three papers are written from a categorical point of view.In Paper A we construct categories of short hammocks and show that their weak homotopy type is that of mapping spaces. While doing this we tackle the problem of applying the nerve to large categories without the use of multiple universes. The main tool in showing the connection between hammocks and mapping spaces is the use of homotopy groupoids, homotopy groupoid actions and the homotopy fiber of their corresponding Borel constructions.In Paper B we investigate the notion of homotopy commutativity. We show that the fundamental category of a simplicial set is the localization of a subset of the face maps in the corresponding simplex category. This is used to define ∞-homotopy commutative diagrams as functors that send these face maps to weak equivalences. We show that if the simplicial set is the nerve of a small category then such functors are weakly equivalent to functors sending the face maps to isomorphisms. Lastly we show a connection between ∞-homotopy commutative diagrams and mapping spaces of model categories via hammock localization.In Paper C we study multidimensional persistence modules via tame functors. By defining noise systems in the category of tame functors we get a pseudo-metric topology on these functors. We show how this pseudo-metric can be used to identify persistent features of compact multidimensional persistence modules. To count such features we introduce the feature counting invariant and prove that assigning this invariant to compact tame functors is a 1-Lipschitz operation. For 1-dimensional persistence, we explain how, by choosing an appropriate noise system, the feature counting invariant identifies the same persistent features as the classical barcode construction.

• Denna avhandling innehåller tre artiklar. Artikel A och Artikel B handlar om homotopiteori och Artikel C handlar om topologisk dataanalys. Alla tre artiklar är skrivna från en kategorisk synvinkel.I Artikel A konstruerar vi kategorier av korta hängmattor och visar att dess svaga homotopityper är ekvivalenta med avbildningsrum. Samtidigt som vi gör detta så tacklar vi även problemet med att applicera nerv-funktorn till stora kategorier utan att använda sig av multipla universum. Huvudverktyget för att visa kopplingen mellan hängmattor och avbildningsrum är användandet av homotopigruppoider, deras verkan samt den homotopiska fibern av deras respektive Borel-konstruktioner.I Artikel B undersöker vi konceptet homotopisk kommutativitet. Vi visar att fundamentalkategorin hos en simpliciell mängd är lokaliseringen av en delmängd av sido-avbildningarna i den korresponderande simpliciella kategorin. Detta används för att definiera ∞-homotopiskt kommuterande diagram som funktorer som skickar dessa sido-avbildningar till svaga ekvivalenser. Vi visar att om den simpliciella mängden är nerven av en liten kategori så är sådana funktorer svagt ekivalenta till funktorer som skickar sido-avbildningarna till isomorfier. Slutligen så visar vi på en koppling mellan ∞-homotopiskt kommuterande diagram och avbildningsrum hos modellkategorier via hängmatte-lokalisering.I Artikel C studerar multidimensionella persistensmoduler via tama funktorer. Genom att definiera brussystem i kategorin av tama funktorer så får vi en pseudo-metrisk topologi på dessa funktorer. Vi visar hur denna pseduo-metrik kan användas för att identifiera persistenta egenskaper hos kompakta multidimensionella persistensmoduler. För att räkna antalet sådana persistenta egenskaper så introducerar vi karakteristik-räknings-invarianten och visar att tilldelandet av denna variant till kompakta tama funktorer är en 1-Lipschitz operation. För endimensionell persistens så förklarar vi hur, genom att välja lämpigt brussystem, karakteristik-räknings-invarianten identifierar samma persistenta egenskaper som den streckkods-konstruktionen.

Ämnesord

NATURVETENSKAP  -- Matematik -- Algebra och logik (hsv//swe)

NATURAL SCIENCES  -- Mathematics -- Algebra and Logic (hsv//eng)

Nyckelord

Homotopy theory

Topological Data Analysis

Category theory

Mapping spaces

Homotopy commutative diagrams

Matematik

Mathematics

Publikations- och innehållstyp

vet (ämneskategori)

dok (ämneskategori)